№ 23 · Расчётная задача по молекулярной физике

Теп­ло­вые по­те­ри от­сут­ству­ют, а удель­ные теп­лоём­ко­сти за­вар­ки и воды оди­на­ко­вы. Ба­ланс: \(m_1c(T-T_1)=m_2c(T_2-T)\).

При \(m_1=30\,\text{г}\), \(T_1=20\,^{\circ}\text{C}\), \(m_2=170\,\text{г}\), \(T_2=80\,^{\circ}\text{C}\) ко­неч­ная тем­пе­ра­ту­ра:

\[T=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2}=\frac{30\cdot20+170\cdot80}{30+170}=71\,^{\circ}\text{C}.\]

От­вет: 71 °C.

71

Сна­ча­ла на­гре­ва­ет­ся вся вода до тем­пе­ра­ту­ры ки­пе­ния. Её ко­ли­че­ство теп­ло­ты:

\[Q_1=cm\Delta T=4{,}2\cdot10^3\cdot0{,}5\cdot(100-10)=189\,000\,\text{Дж}.\]

В пар пре­вра­ща­ет­ся мас­са \(m_{\text{п}}=\eta m=0{,}15\cdot0{,}5=0{,}075\,\text{кг}\), где \(\eta=0{,}15\) — доля ис­па­рив­шей­ся воды. На па­ро­об­ра­зо­ва­ние тре­бу­ет­ся:

\[Q_2=Lm_{\text{п}}=2{,}3\cdot10^6\cdot0{,}075=172\,500\,\text{Дж}.\]

На­гре­ва­тель пе­ре­даёт энер­гию с по­сто­ян­ной мощ­но­стью, так что \(P=\frac{Q}{t}\). Сле­до­ва­тель­но:

\[t=\frac{Q_1+Q_2}{P}=\frac{189\,000+172\,500}{400}\approx904\,\text{с}.\]

\(904\,\text{с}\)

Вода охла­жда­ет­ся до \(0\,^{\circ}\text{C}\), от­да­вая теп­ло­ту, ко­то­рая идёт на плав­ле­ние льда: \(m_вcT=m_л\lambda\).

От­сю­да \(T=\frac{m_л\lambda}{m_вc}=\frac{0{,}140\cdot3{,}3\cdot10^5}{0{,}250\cdot4200}=44\,^{\circ}\text{C}\). От­вет: 44 °C.

\(44 ^{\circ}\mathrm{C}\).

При теп­ло­вом рав­но­ве­сии лёд ещё остаёт­ся, по­это­му ко­неч­ная тем­пе­ра­ту­ра воды рав­на \(0^\circ\text{C}\). Охла­жда­ясь, вода от­даёт теп­ло­ту:

\[Q=m_{\text{в}}c\Delta t=1{,}1\cdot4200\cdot15=69\,300\,\text{Дж}.\]

Эта теп­ло­та идёт на плав­ле­ние льда: \(Q=\lambda m_{\text{л}}\). Мас­са рас­пла­вив­ше­го­ся льда:

\[m_{\text{л}}=\frac{Q}{\lambda}=\frac{69\,300}{3{,}3\cdot10^5}=0{,}21\,\text{кг}=210\,\text{г}.\]

210

Вода мас­сой \(0{,}45\,\text{кг}\) осты­ва­ет от \(45\) до \(5 ^{\circ}\mathrm{C}\) и от­даёт \(Q_{\text{в}} = m_{\text{в}}c_{\text{в}}\Delta T = 0{,}45\cdot 4200\cdot 40 = 75 600\,\text{Дж}\). Лёд при \(0 ^{\circ}\mathrm{C}\) сна­ча­ла пла­вит­ся, за­тем по­лу­чив­ша­я­ся вода на­гре­ва­ет­ся до \(5 ^{\circ}\mathrm{C}\): \(Q_{\text{л}} = m(\lambda + c_{\text{в}}\cdot 5)\). Из теп­ло­во­го ба­лан­са \(m = 75 600/(3{,}3\cdot 10^{5} + 4200\cdot 5) \approx 0{,}215\,\text{кг} = 215\,\text{г}\).

215

До опус­ка­ния бол­та смесь воды и льда на­хо­дит­ся при \(0 ^{\circ}\mathrm{C}\). По­сле уста­нов­ле­ния но­во­го рав­но­ве­сия тем­пе­ра­ту­ра так­же рав­на \(0 ^{\circ}\mathrm{C}\), по­сколь­ку в ка­ло­ри­мет­ре оста­ют­ся вода и лёд. Болт мас­сой \(m_{\text{б}} = 0{,}165\,\text{кг}\) на­гре­ва­ет­ся от \(-40\) до \(0 ^{\circ}\mathrm{C}\) и по­лу­ча­ет теп­ло­ту \(Q = m_{\text{б}}c_{\text{б}}\cdot 40 = 0{,}165\cdot 500\cdot 40 = 3300\,\text{Дж}\). Эта теп­ло­та вы­де­ля­ет­ся при за­мер­за­нии \(20\%\) пер­во­на­чаль­ной мас­сы воды \(m\): \(0{,}2m\lambda = 3300\,\text{Дж}\). При \(\lambda = 3{,}3\cdot 10^{5}\,\text{Дж}/\text{кг}\) по­лу­ча­ем \(m = 3300/(0{,}2\cdot 3{,}3\cdot 10^{5}) = 0{,}050\,\text{кг}\). От­вет: \(0{,}05\,\text{кг}\).

\(m = 0{,}05\,\text{кг}\).

По гра­фи­ку при \(16 ^{\circ}\mathrm{C}\) дав­ле­ние на­сы­щен­но­го во­дя­но­го пара \(p_{\text{н}} \approx 20\,\text{гПа} = 2{,}0\cdot 10^{3}\,\text{Па}\). Мас­са воды в ам­пу­ле \(m_{0} = \rho V_{1} = 1000\cdot 4\cdot 10^{-6} = 4\cdot 10^{-3}\,\text{кг}\). Для на­сы­ще­ния объ­ёма \(2\,\text{л}\) тре­бу­ет­ся мас­са пара \(m = p_{\text{н}}\mathit{VM}/(\mathit{RT}) = 2{,}0\cdot 10^{3}\cdot 2\cdot 10^{-3}\cdot 18\cdot 10^{-3}/(8{,}31\cdot 289) \approx 3{,}0\cdot 10^{-5}\,\text{кг} = 0{,}030\,\text{г}\). Это мень­ше ис­ход­ной мас­сы воды, по­это­му часть жид­ко­сти остаёт­ся, а доля ис­па­рив­шей­ся воды \(m/m_{0} = 0{,}030/4 = 0{,}0075\), то есть \(0{,}75\%\).

0,0075

Со­суд за­крыт и име­ет по­сто­ян­ный объ­ём, по­это­му \(p/T = const\). При умень­ше­нии дав­ле­ния в 2 раза тем­пе­ра­ту­ра па­да­ет от \(400\) до \(200\,\text{К}\). Ко­ли­че­ство ве­ще­ства \(\nu = m/M = 0{,}012/0{,}004 = 3\,\text{моль}\). Ра­бо­та газа рав­на нулю, по­это­му \(Q = \Delta U = (3/2)\nu R(T_{2} - T_{1}) = (3/2)\cdot 3\cdot 8{,}31\cdot (200 - 400) \approx -7{,}5\cdot 10^{3}\,\text{Дж}\). Газ от­дал \(7{,}5\cdot 10^{3}\,\text{Дж}\) теп­ло­ты.

\(7{,}5\cdot 10^{3}\)

1. По­сколь­ку со­суд теп­ло­изо­ли­ро­ван и на­чаль­ные тем­пе­ра­ту­ры га­зов оди­на­ко­вы, то по­сле уста­нов­ле­ния рав­но­ве­сия тем­пе­ра­ту­ра в со­су­де бу­дет рав­на пер­во­на­чаль­ной, а ге­лий рав­но­мер­но рас­пре­де­лит­ся по все­му со­су­ду. По­сле уста­нов­ле­ния рав­но­ве­сия в си­сте­ме в каж­дой ча­сти со­су­да ока­жет­ся по \(1\,\text{моль}\) ге­лия: \(\nu 1 = 1\). В ре­зуль­та­те в со­су­де с ар­го­ном ока­жет­ся \(3\,\text{моль}\) сме­си: \(\nu 2 = \nu 1 + \nu = 3\). 2. Вну­трен­няя энер­гия од­но­атом­но­го иде­аль­но­го газа про­пор­ци­о­наль­на тем­пе­ра­ту­ре и ко­ли­че­ству мо­лей: \(U_{1}= (3)/(2) \nu_{1}\mathit{RT}_{1}, U_{2}= (3)/(2) \nu_{2}\mathit{RT}_{2}\) 3. За­пи­шем усло­вие тер­мо­ди­на­ми­че­ско­го рав­но­ве­сия: \(T 1 = T 2\). 4. В ито­ге: \((U_{1})/(U_{2}) = (\nu_{1})/(\nu_{2}) = (1)/(3)\)

\((U_{1})/(U_{2}) = (1)/(3)\)

Основ­ное урав­не­ние молекулярно-кинетической те­о­рии име­ет вид \(p = \rho\langle v^{2}\rangle /3\). \(p = 1{,}2\cdot 500^{2}/3 = 100 000\,\text{Па} = 100\,\text{кПа}\).

\(100\,\text{кПа}\)

В ко­неч­ном со­сто­я­нии в бал­ло­нах с сум­мар­ным объ­емом \(V=30\,\text{л}\) бу­дет на­хо­дить­ся \(\nu = 3\,\text{моль}\) сме­си двух га­зов при тем­пе­ра­ту­ре \(28 ^{\circ}\mathrm{C}\). То­гда со­глас­но урав­не­нию Мен­де­ле­е­ва — Кла­пей­ро­на дав­ле­ние сме­си бу­дет: \(pV=\nu \mathit{RT} p= (\nu \mathit{RT})/(V) = (3 \cdot 8{,}31 \cdot 301)/(30 \cdot 10^{-3}) \approx 250 \cdot 10^{3}\,\text{Па}=250\,\text{кПа}\)

\(250\,\text{кПа}\).

До на­ча­ла кон­ден­са­ции мас­са пара и объ­ём со­су­да по­сто­ян­ны, по­это­му плот­ность во­дя­но­го пара остаёт­ся рав­ной \(\rho = 2\cdot 10^{-2}\,\text{кг}/\text{м}^{3}\). Роса по­яв­ля­ет­ся, ко­гда эта плот­ность ста­но­вит­ся рав­ной плот­но­сти на­сы­щен­но­го пара. По гра­фи­ку вбли­зи \(22\)–\(23 ^{\circ}\mathrm{C}\) дав­ле­ние на­сы­щен­но­го пара со­став­ля­ет око­ло \(27\,\text{гПа}\). Урав­не­ние со­сто­я­ния даёт \(\rho_{\text{нас}} = Mp_{\text{нас}}/(\mathit{RT})\). При \(22 ^{\circ}\mathrm{C}\) по­лу­ча­ет­ся око­ло \(1{,}94\cdot 10^{-2}\,\text{кг}/\text{м}^{3}\), а при \(23 ^{\circ}\mathrm{C}\) — око­ло \(2{,}06\cdot 10^{-2}\,\text{кг}/\text{м}^{3}\). Ли­ней­ная ин­тер­по­ля­ция даёт тем­пе­ра­ту­ру точ­ки росы \(t_{\text{р}} \approx 22{,}5 ^{\circ}\mathrm{C}\).

\(\approx 22{,}5\)