№ 24 · Молекулярная физика · сложная задача

Ра­бо­та при рас­ши­ре­нии \(1\text{–}2\) рав­на \(A_{12} = 3p\cdot (5V - V) = 12pV = 1{,}2\,\text{кДж}\). Сле­до­ва­тель­но, \(pV = 0{,}1\,\text{кДж}\). Ра­бо­та газа за цикл рав­на пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка: \(A_{\text{ц}}=(3p-p)(5V-V)=8pV\). Зна­чит, \(A_{\text{ц}}=0{,}8\,\text{кДж}\). КПД \(\eta = A_{\text{ц}}/Q_{\text{н}} = 0{,}8/3{,}3 \approx 0{,}242 = 24\%\).

24

За час че­рез лёг­кие про­хо­дит \(V = 15\cdot 60 = 900\,\text{л} = 0{,}9\,\text{м}^{3}\) воз­ду­ха. Пар­ци­аль­ное дав­ле­ние пара во вды­ха­е­мом воз­ду­хе \(p_{1} = 0{,}40\cdot 2{,}34 = 0{,}936\,\text{кПа}\), в вы­ды­ха­е­мом \(p_{2} = 5{,}32\,\text{кПа}\). По урав­не­нию со­сто­я­ния мас­са пара в объ­ёме \(V\) рав­на \(m = MpV/(\mathit{RT})\). По­те­ря воды \(\Delta m = (\mathit{MV}/R)(p_{2}/T_{2} - p_{1}/T_{1})\). \(\Delta m = (0{,}018\cdot 0{,}9/8{,}31)(5320/307 - 936/293) \approx 0{,}0276\,\text{кг} \approx 28\,\text{г}\).

\(28\,\text{г}\)

При оди­на­ко­вой тем­пе­ра­ту­ре кон­цен­тра­ция во­дя­но­го пара про­пор­ци­о­наль­на от­но­си­тель­ной влаж­но­сти. По­сле уда­ле­ния пе­ре­го­род­ки ко­ли­че­ство пара рав­но сум­ме его ко­ли­честв в двух ча­стях. \(\varphi(V_{1} + V_{2}) = \varphi_{1}V_{1} + \varphi_{2}V_{2}\). При \(V_{2} = 3V_{1}\) по­лу­ча­ем \(0{,}50\cdot 4V_{1} = 0{,}80V_{1} + 3\varphi_{2}V_{1}\). От­сю­да \(\varphi_{2} = 0{,}40 = 40\%\).

40

У по­верх­но­сти удер­жи­ва­ю­щая сила \(1000\,\text{Н}\) на­прав­ле­на вниз, по­это­му сила Ар­хи­ме­да \(F_{A}1 = mg + 1000 = 20\cdot 10 + 1000 = 1200\,\text{Н}\). На вы­со­те рав­но­ве­сия \(F_{A}2 = mg = 200\,\text{Н}\), а объ­ём зон­да \(V_{2} = 2V_{1}\). Сле­до­ва­тель­но, \(\rho_{2}/\rho_{1} = [F_{A}2/(g\cdot 2V_{1})]/[F_{A}1/(gV_{1})] = 1/12\). Для воз­ду­ха \(\rho \propto p/T\). По­это­му \(p_{2}/p_{1} = (\rho_{2}/\rho_{1})(T_{2}/T_{1}) = (1/12)\cdot (230/290)\). \(p_{2} \approx 10^{5}\cdot 230/(12\cdot 290) \approx 6{,}6\cdot 10^{3}\,\text{Па}\).

\(6{,}6\cdot 10^{3}\)

По­сле от­кры­тия кра­на об­щий объ­ём ра­вен \(2\,\text{м}^{3}\), об­щее ко­ли­че­ство ве­ще­ства — \(4\,\text{моль}\). Ко­неч­ная тем­пе­ра­ту­ра \(T = pV_{\text{общ}}/[(\nu_{1} + \nu_{2})R] = 5400\cdot 2/(4\cdot 8{,}31) \approx 325\,\text{К}\). Ге­лий и ар­гон — од­но­атом­ные газы, по­это­му из со­хра­не­ния вну­трен­ней энер­гии \(\nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2} = (\nu_{1} + \nu_{2})T\). \(1\cdot 400 + 3T_{2} = 4\cdot 325\), от­ку­да \(T_{2} \approx 300\,\text{К}\).

300

Про­цесс \(1\text{–}2\) изо­тер­ми­че­ский, по­это­му \(\Delta U_{12} = 0\) и \(Q_{12} = A_{12} = 2{,}5\,\text{кДж}\). Уча­сток \(2\text{–}3\) ле­жит на пря­мой \(T/V = const\), про­хо­дя­щей че­рез на­ча­ло ко­ор­ди­нат, то есть дав­ле­ние по­сто­ян­но. При уве­ли­че­нии объ­ёма в 3 раза тем­пе­ра­ту­ра воз­рас­та­ет от \(T_{2} = 300\,\text{К}\) до \(T_{3} = 900\,\text{К}\). Для од­но­атом­но­го газа при изо­бар­ном на­гре­ва­нии \(Q_{23}=\frac52\nu R(T_3-T_2)\). При \(\nu=1\,\text{моль}\) по­лу­ча­ем \(Q_{23}=2{,}5\cdot8{,}31\cdot600\,\text{Дж}\). Зна­чит, \(Q_{23}\approx12{,}5\,\text{кДж}\). Пол­ное ко­ли­че­ство теп­ло­ты \(Q \approx 2{,}5 + 12{,}5 = 15\,\text{кДж}\).

15

Про­цесс \(1\text{–}2\) изо­тер­ми­че­ский, по­это­му \(T_{2} = T_{1} = 300\,\text{К}\). На участ­ке \(2\text{–}3\) объ­ём по­сто­я­нен, сле­до­ва­тель­но, \(p/T = const\). При уве­ли­че­нии дав­ле­ния в 3 раза тем­пе­ра­ту­ра ста­но­вит­ся \(T_{3} = 3T_{2} = 900\,\text{К}\). При изо­хор­ном на­гре­ва­нии ра­бо­та газа рав­на нулю, по­это­му \(Q_{23}=\Delta U=\frac32\nu R(T_3-T_2)\). Под­став­ля­ем зна­че­ния: \(Q_{23}=\frac32\cdot1\cdot8{,}31\cdot600\,\text{Дж}\). По­лу­ча­ем \(Q_{23}\approx7{,}5\cdot10^3\,\text{Дж}=7{,}5\,\text{кДж}\).

7,5

Пор­шень дви­жет­ся мед­лен­но и без тре­ния, по­это­му дав­ле­ние газа по­сто­ян­но и рав­но внеш­не­му \(p\). Для од­но­атом­но­го газа при изо­бар­ном про­цес­се \(Q = (5/2)p\Delta V\). При охла­жде­нии \(\Delta V = -Sx\), сле­до­ва­тель­но, \(|Q| = (5/2)pSx\). \(S = 2|Q|/(5px) = 2\cdot 75/(5\cdot 10^{5}\cdot 0{,}10) = 3{,}0\cdot 10^{-3}\,\text{м}^{2} = 30\,\text{см}^{2}\).

30

При \(100 ^{\circ}\mathrm{C}\) дав­ле­ние на­сы­щен­но­го во­дя­но­го пара \(p_{\text{нас}} = 10^{5}\,\text{Па}\). Обо­зна­чим на­чаль­ные пар­ци­аль­ные дав­ле­ния су­хо­го воз­ду­ха и пара че­рез \(p_{\text{с}}\) и \(p_{\text{п}}\). То­гда \(p_{\text{с}} + p_{\text{п}} = 1{,}8\cdot 10^{5}\,\text{Па}\). По­сле че­тырёх­крат­но­го изо­тер­ми­че­ско­го сжа­тия пар ча­стич­но кон­ден­си­ру­ет­ся и его дав­ле­ние остаёт­ся рав­ным \(p_{\text{нас}}\), а дав­ле­ние су­хо­го воз­ду­ха ста­но­вит­ся \(4p_{\text{с}}\). По­это­му \(4p_{\text{с}} + 10^{5} = 3\cdot 1{,}8\cdot 10^{5}\), от­ку­да \(p_{\text{с}} = 1{,}1\cdot 10^{5}\,\text{Па}\) и \(p_{\text{п}} = 0{,}7\cdot 10^{5}\,\text{Па}\). От­но­си­тель­ная влаж­ность \(\varphi = p_{\text{п}}/p_{\text{нас}} = 0{,}70 = 70\%\). Усло­вие кон­ден­са­ции вы­пол­ня­ет­ся: без неё дав­ле­ние пара ста­ло бы \(2{,}8\cdot 10^{5}\,\text{Па}\), что боль­ше \(p_{\text{нас}}\).

70

Пусть ра­бо­та газа при изо­бар­ном рас­ши­ре­нии рав­на \(A_{12}\). При адиа­бат­ном сжа­тии ра­бо­та, со­вер­шён­ная над га­зом, \(A^{\prime}_{31} = A_{12}/2\), по­это­му ра­бо­та газа за цикл \(A_{\text{ц}} = A_{12} - A^{\prime}_{31} = A_{12}/2\). Теп­ло­ту газ по­лу­ча­ет толь­ко на участ­ке \(1\text{–}2\). Для од­но­атом­но­го газа при изо­бар­ном на­гре­ва­нии \(\Delta U_{12} = (3/2)\nu R\Delta T = (3/2)A_{12}\), по­это­му \(Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = (5/2)A_{12}\). КПД \(\eta=\frac{A_{\text{ц}}}{Q_{12}}=\frac{A_{12}/2}{5A_{12}/2}=\frac15=20\%\).

20

Вна­ча­ле дав­ле­ния газа и ат­мо­сфе­ры оди­на­ко­вы, по­это­му пру­жи­на не де­фор­ми­ро­ва­на. При сме­ще­нии порш­ня на \(x\) дав­ле­ние газа из усло­вия ме­ха­ни­че­ско­го рав­но­ве­сия рав­но \(p(x) = p_{0} + kx/S\). Ра­бо­та газа при пе­ре­ме­ще­нии на \(b\) рав­на пло­ща­ди под гра­фи­ком \(p(x)\): \(A = p_{0}Sb + kb^{2}/2\). На­чаль­ный объ­ём \(V_{1} = \mathit{SL}\), ко­неч­ный \(V_{2} = S(L + b)\). Для од­но­атом­но­го газа \(\Delta U = (3/2)(p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1}) = (3/2)[p_{0}Sb + kb(L + b)]\). По пер­во­му за­ко­ну \(Q = \Delta U + A = (5/2)p_{0}Sb + (3/2)kbL + 2kb^{2}\). От­сю­да \(k = (2Q - 5p_{0}Sb)/[b(3L + 4b)]\).

\((2Q - 5p_{0}Sb)/(b(3L + 4b))\)

Пер­во­на­чаль­но дав­ле­ние влаж­но­го воз­ду­ха рав­но внеш­не­му \(p_{0}\). При мас­се пес­ка \(m\) усло­вие рав­но­ве­сия порш­ня даёт ко­неч­ное дав­ле­ние \(p = p_{0} + mg/S\). До по­яв­ле­ния росы ко­ли­че­ства су­хо­го воз­ду­ха и во­дя­но­го пара по­сто­ян­ны, по­это­му при изо­тер­ми­че­ском сжа­тии все пар­ци­аль­ные дав­ле­ния воз­рас­та­ют в \(p/p_{0}\,\text{раз}\). Пусть \(p_{\text{нас}}\) — дав­ле­ние на­сы­щен­но­го пара при дан­ной тем­пе­ра­ту­ре. Пер­во­на­чаль­ное пар­ци­аль­ное дав­ле­ние пара \(p_{\text{п}} = \varphi p_{\text{нас}}\), а в мо­мент по­яв­ле­ния росы оно рав­но \(p_{\text{нас}}\). Сле­до­ва­тель­но, \(p/p_{0} = 1/\varphi\) и \(\varphi = p_{0}/p = p_{0}S/(p_{0}S + mg)\).

\(p_{0}S/(p_{0}S + mg)\)