№ 25 · Электродинамика · сложная задача

Сила Ло­рен­ца пер­пен­ди­ку­ляр­на ско­ро­сти и не со­вер­ша­ет ра­бо­ты. Меж­ду ниж­ней и верх­ней точ­ка­ми со­хра­ня­ет­ся ме­ха­ни­че­ская энер­гия:

\[\frac{mv_{\text{н}}^2}{2}=\frac{mv_{\text{в}}^2}{2}+2mgL.\]

От­сю­да \(v_{\text{в}}=\sqrt{v_{\text{н}}^2-4gL}\).

При ми­ни­маль­ной на­чаль­ной ско­ро­сти нить в верх­ней точ­ке лишь остаёт­ся на­тя­ну­той: сила на­тя­же­ния \(T=0\). По на­прав­ле­нию дви­же­ния и маг­нит­но­го поля сила Ло­рен­ца там на­прав­ле­на на­ру­жу. Вто­рой за­кон Нью­то­на в про­ек­ции к цен­тру окруж­но­сти:

\[mg-qv_{\text{в}}B=\frac{mv_{\text{в}}^2}{L}.\]

Вы­ра­зим ин­дук­цию и учтём най­ден­ную ско­рость в верх­ней точ­ке:

\[B=\frac{m(gL-v_{\text{в}}^2)}{qLv_{\text{в}}}=\frac{m(5gL-v_{\text{н}}^2)}{qL\sqrt{v_{\text{н}}^2-4gL}}.\]

\(\frac{m(5gL-v_{\text{н}}^2)}{qL\sqrt{v_{\text{н}}^2-4gL}}\)

При разо­мкну­том клю­че \(R_1=R\) со­единён по­сле­до­ва­тель­но с \(r=0{,}5R\). По­это­му \(P_1=\frac{\mathcal{E}^2R}{(R+r)^2}=\frac{4\mathcal{E}^2}{9R}\).

По­сле за­мы­ка­ния клю­ча \(R_1\) и \(R_2=2R\) со­еди­не­ны па­рал­лель­но: \(R_{внеш}=\frac{R\cdot2R}{R+2R}=\frac{2R}{3}\). На­пря­же­ние на них \(U=\mathcal{E}\frac{R_{внеш}}{R_{внеш}+r}=\frac{4\mathcal{E}}{7}\), по­это­му \(P_2=\frac{U^2}{R}=\frac{16\mathcal{E}^2}{49R}\).

Сле­до­ва­тель­но, \(\frac{P_2}{P_1}=\frac{36}{49}\). Но­вая мощ­ность:

\[P_2=P_1\cdot\frac{36}{49}=4{,}9\cdot\frac{36}{49}=3{,}6\,\text{Вт}.\]

3,6

Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние иона в кон­ден­са­то­ре \(a= (v^{2})/(R)\) за­да­ет­ся си­лой \(F=qE\), где на­пря­жен­ность элек­три­че­ско­го поля \(E= (U)/(d)\), так что вы­пол­ня­ет­ся вто­рой за­кон Нью­то­на \(F=ma\) То­гда по­лу­ча­ем: \((qU)/(d) =m (v^{2})/(R)\) (здесь \(q\), \(m\) и \(v\) — со­от­вет­ствен­но за­ряд, мас­са и ско­рость иона; \(U\) — на­пря­же­ние на об­клад­ках кон­ден­са­то­ра, \(d\) — рас­сто­я­ние меж­ду пла­сти­на­ми). Сле­до­ва­тель­но, вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние: \((q)/(m) = (v^{2})/(\mathit{RE}) = (10^{10})/(0{,}5 \cdot 5 \cdot 10^{3}) =4 \cdot 10^{6}\,\text{Кл}/\text{кг}\). \(\text{Кл}/\text{кг}\).

\(\text{Кл}/\text{кг}\).

По гра­фи­ку при токе \(I = 0{,}4\,\text{А}\) на­пря­же­ние на лам­пе со­став­ля­ет при­мер­но \(140\,\text{В}\). В по­сле­до­ва­тель­ной цепи на­пря­же­ние на ре­зи­сто­ре \(U_{R} = 220 - 140 = 80\,\text{В}\). Мощ­ность на ре­зи­сто­ре \(P_{R} = \mathit{IU}_{R} = 0{,}4\cdot 80 = 32\,\text{Вт}\).

32

На ка­пель­ку дей­ству­ют сила тя­же­сти \(m \vec{g}\) и сила дей­ствия элек­три­че­ско­го поля, на­прав­лен­ная по ли­ни­ям на­пря­жен­но­сти и рав­ная \(F_{\text{э}}=Eq\) Рав­но­дей­ству­ю­щая этих сил по­сто­ян­на и по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на рав­на \(m \vec{g} + \vec{F}_{\text{э}}=m \vec{a}\) По го­ри­зон­таль­ной оси: про­ек­ция уско­ре­ния ка­пель­ки \(a_{x}= (Eq)/(m)\), то­гда про­ек­ция ско­ро­сти на го­ри­зон­таль­ную ось при рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии без на­чаль­ной ско­ро­сти \(v _{x}= a_{x}t= (Eqt)/(m)\) По вер­ти­ка­ли под дей­стви­ем силы тя­же­сти \(a_{y}=g\), по­это­му вер­ти­каль­ная про­ек­ция ско­ро­сти ка­пель­ки рав­на \(v _{y}=gt\) То­гда ско­рость кап­ли че­рез про­ме­жу­ток вре­ме­ни \(t\) рав­на \(v = \sqrt{ v _{x}^{2} + v _{y}^{2} } =t \sqrt{ ( (Eq)/(m) )^{2} + g^{2} } =0{,}2 \cdot \sqrt{ ( (3 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-6})/(4 \cdot 10^{-4}) )^{2} + 100 } =2{,}5\,\text{м}/\text{с}\)

\(2{,}5\,\text{м}/\text{с}\).

Пло­щадь рам­ки \(S = l^{2} = 0{,}01\,\text{м}^{2}\). На участ­ке \(0\text{–}4\,\text{с}\) \(dB/dt = (-0{,}4 - 0{,}6)/4 = -0{,}25\,\text{Тл}/\text{с}\), по­это­му \(|\mathcal{E}_{1}| = S|dB/dt| = 2{,}5\cdot 10^{-3}\,\text{В}\). На участ­ке \(4\text{–}10\,\text{с}\) \(dB/dt = [0{,}2 - (-0{,}4)]/6 = 0{,}10\,\text{Тл}/\text{с}\), по­это­му \(|\mathcal{E}_{2}| = 1{,}0\cdot 10^{-3}\,\text{В}\). Ко­ли­че­ство теп­ло­ты \(Q=\frac{\mathcal{E}_1^2t_1+\mathcal{E}_2^2t_2}{R}\), где \(t_1=4\,\text{с}\), \(t_2=6\,\text{с}\). Под­ста­нов­ка даёт \(Q=1{,}55\cdot10^{-4}\,\text{Дж}\).

\(1{,}55\cdot 10^{-4}\)

Фо­кус­ное рас­сто­я­ние \(F = 1/D = 40\,\text{см}\). По­ло­ви­на диа­го­на­ли квад­ра­та рав­на \(a/\sqrt{2}\). Рас­сто­я­ния от лин­зы до осе­вых вер­шин: \(d_{A} = 80 - 20/\sqrt{2} \approx 65{,}86\,\text{см}\) и \(d_{C} = 80 + 20/\sqrt{2} \approx 94{,}14\,\text{см}\). По фор­му­ле \(f = dF/(d - F)\) по­лу­ча­ем \(f_{A} \approx 101{,}87\,\text{см}\) и \(f_{C} \approx 69{,}55\,\text{см}\), по­это­му \(A^{\prime}C^{\prime} \approx 32{,}32\,\text{см}\). Для двух по­пе­реч­ных вер­шин \(d = 80\,\text{см} = 2F\), по­это­му уве­ли­че­ние по мо­ду­лю рав­но 1 и \(B^{\prime}D^{\prime} = a\sqrt{2} \approx 28{,}28\,\text{см}\). Диа­го­на­ли изоб­ра­же­ния вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит \(S^{\prime} = A^{\prime}C^{\prime}\cdot B^{\prime}D^{\prime}/2 \approx 457\,\text{см}^{2}\). Зна­че­ние \(448\,\text{см}^{2}\) по­лу­ча­ет­ся лишь при преж­де­вре­мен­ном округ­ле­нии диа­го­на­лей до \(32\) и \(28\,\text{см}\).

457

При дли­тель­но за­мкну­том клю­че кон­ден­са­тор за­ря­жен до на­пря­же­ния на клем­мах ис­точ­ни­ка. Ре­зи­стор \(R\) яв­ля­ет­ся на­груз­кой, по­это­му \(U = \mathcal{E} R/(R + r) = \mathcal{E}/(1 + r/R) = 12/1{,}2 = 10\,\text{В}\). По­сле раз­мы­ка­ния вся энер­гия кон­ден­са­то­ра вы­де­ля­ет­ся на ре­зи­сто­ре: \(Q = \mathit{CU}^{2}/2 = qU/2\). От­сю­да \(q = 2Q/U = 2\cdot 10\cdot 10^{-6}/10 = 2\cdot 10^{-6}\,\text{Кл}\).

\(2\cdot 10^{-6}\)

Фо­кус­ное рас­сто­я­ние \(F = 1/D = 5\,\text{см}\). При \(d = 6\,\text{см}\) рас­сто­я­ние до изоб­ра­же­ния каж­дой по­ло­ви­ны \(f = dF/(d - F) = 30\,\text{см}\), а по­пе­реч­ное уве­ли­че­ние по мо­ду­лю \(\Gamma = f/d = 5\). Центр каж­дой по­ло­ви­ны смещён от преж­ней оси на \(h = x/2 = 2\,\text{см}\). От­но­си­тель­но оси верх­ней по­ло­ви­ны ис­точ­ник рас­по­ло­жен на \(2\,\text{см}\) ниже, по­это­му изоб­ра­же­ние на­хо­дит­ся на \(\Gamma h = 10\,\text{см}\) выше её оси, то есть на \(12\,\text{см}\) выше ис­ход­ной оси. Вто­рая по­ло­ви­на даёт сим­мет­рич­ное изоб­ра­же­ние на \(12\,\text{см}\) ниже. Рас­сто­я­ние меж­ду изоб­ра­же­ни­я­ми рав­но \(24\,\text{см}\).

24

По гра­фи­ку при \(U_{1} = 12\,\text{В}\) ток \(I_{1} = 2{,}0\,\text{А}\), по­это­му \(R_{1} = U_{1}/I_{1} = 6\,\text{Ом}\). При \(U_{2} = 6\,\text{В}\) гра­фик даёт \(I_{2} \approx 1{,}4\,\text{А}\), по­это­му \(R_{2} \approx 6/1{,}4 \approx 4{,}29\,\text{Ом}\). Так как \(R \propto T, T_{2} = T_{1}R_{2}/R_{1} = 3100\cdot 4{,}29/6 \approx 2{,}2\cdot 10^{3}\,\text{К}\).

\(2{,}2\cdot 10^{3}\)

Фо­кус­ное рас­сто­я­ние свя­за­но с оп­ти­че­ской си­лой лин­зы. Для дан­ной рас­се­и­ва­ю­щей лин­зы:

\[F=\frac1D=\frac1{-10}\,\text{м}=-0{,}10\,\text{м}=-10\,\text{см}.\]

Рас­сто­я­ние от ис­точ­ни­ка до лин­зы:

\[d=1{,}5|F|=1{,}5\cdot10=15\,\text{см}.\]

По фор­му­ле тон­кой лин­зы \(\frac1F=\frac1d+\frac1f\) рас­сто­я­ние до изоб­ра­же­ния при под­ста­нов­ке в сан­ти­мет­рах:

\[f=\frac{Fd}{d-F}=\frac{-10\cdot15}{15-(-10)}=-6\,\text{см}.\]

Изоб­ра­же­ние мни­мое. Пре­лом­лён­ные лучи рас­хо­дят­ся так, слов­но вы­хо­дят из точ­ки на глав­ной оп­ти­че­ской оси в \(6\,\text{см}\) пе­ред лин­зой. Гра­ни­цы пуч­ка за­да­ют лучи, про­хо­дя­щие че­рез края от­кры­той ча­сти опра­вы.

Обо­зна­чим ра­ди­ус опра­вы че­рез \(R\), рас­сто­я­ние от лин­зы до экра­на — че­рез \(l\), ра­ди­ус пят­на — че­рез \(r\). По по­до­бию тре­уголь­ни­ков \(\frac rR=\frac{|f|+l}{|f|}\). Диа­метр пят­на:

\[d_{\text{пят­на}}=2r=2R\frac{|f|+l}{|f|}=2\cdot5\cdot\frac{6+10}{6}\approx26{,}7\,\text{см}.\]

26,7

При дли­тель­но за­мкну­том клю­че кон­ден­са­тор за­ря­жен до \(U = \mathcal{E} = 4{,}5\,\text{В}\), а ка­туш­ка для по­сто­ян­но­го тока эк­ви­ва­лент­на про­вод­ни­ку. Ток че­рез лам­пу и ка­туш­ку \(I = \mathcal{E}/R = 4{,}5/5 = 0{,}9\,\text{А}\). По­сле раз­мы­ка­ния ис­точ­ник от­клю­чён, а энер­гия кон­ден­са­то­ра \(W_{C} = \mathit{CU}^{2}/2\) и энер­гия ка­туш­ки \(W_{L} = \mathit{LI}^{2}/2\) пол­но­стью пре­вра­ща­ют­ся в теп­ло­ту лам­пы. \(Q = 0{,}5\cdot 0{,}002\cdot 4{,}5^{2} + 0{,}5\cdot 0{,}020\cdot 0{,}9^{2} = 0{,}02835\,\text{Дж}\).

\(2{,}835\cdot 10^{-2}\)