№ 20 · Расчётная задача

Го­ря­чая вода от­даёт ко­ли­че­ство теп­ло­ты \(Q_{\text{гор}}=cm_1(80-T)\). На на­гре­ва­ние хо­лод­ной воды идёт \(80\%\) этой теп­ло­ты. Хо­лод­ная вода по­лу­ча­ет \(Q_{\text{хол}}=cm_2(T-10)\), по­это­му теп­ло­вой ба­ланс име­ет вид

\[cm_2(T-10)=0{,}8cm_1(80-T).\]

Под­став­ляя \(m_1=3\,\text{кг}\) и \(m_2=1{,}6\,\text{кг}\) и со­кра­щая \(c\), по­лу­ча­ем

\[1{,}6(T-10)=2{,}4(80-T).\]

Рас­кры­вая скоб­ки, \(1{,}6T-16=192-2{,}4T\), от­ку­да \(4T=208\) и \(T=52\,^{\circ}\mathrm{C}\). От­вет: \(52\,^{\circ}\mathrm{C}\).

52 °C

При рав­но­мер­ном подъ­ёме пли­ты ра­бо­та рав­на раз­но­сти её веса и вы­тал­ки­ва­ю­щей силы, умно­жен­ной на вы­со­ту: \[A=(\rho_{\text{мр}}-\rho_{\text{в}})Vgh=(2700-1000)\cdot1\cdot10\cdot5=85\,000\,\text{Дж}=85\,\text{кДж}. \] Ис­поль­зо­ва­но та­блич­ное зна­че­ние плот­но­сти мра­мо­ра \(2700\,\text{кг/м}^3\).

око­ло \(85\,\text{кДж}\)

На пре­дель­ном пути ра­бо­та силы тре­ния рав­на на­чаль­ной ки­не­ти­че­ской энер­гии: \(\mu mgs=\dfrac{mv^2}{2}\). По­сле со­кра­ще­ния мас­сы \[v=\sqrt{2\mu gs}=\sqrt{2\cdot0{,}36\cdot10\,\text{м}/\text{с}^2\cdot1{,}8\,\text{м}}=3{,}6\,\text{м}/\text{с}.\]

\(3{,}6\,\text{м/с}\)

Для пер­во­го ре­зи­сто­ра \(P_1=I^2R_1\), по­это­му: \[I=\sqrt{\frac{P_1}{R_1}}=\sqrt{\frac{400}{25}}=4\,\text{А}. \] Его на­пря­же­ние: \[U_1=IR_1=4\cdot25=100\,\text{В}. \] При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии: \[U_2=U-U_1=220-100=120\,\text{В},\qquad I_2=I. \] То­гда: \[R_2=\frac{U_2}{I_2}=\frac{120}{4}=30\,\text{Ом}. \]

\(30\,\text{Ом}\)

Ток в по­сле­до­ва­тель­ной цепи най­дём по мощ­но­сти, вы­де­ля­е­мой на ре­зи­сто­ре \(R=9\,\text{Ом}\):

\[I=\sqrt{\dfrac{P}{R}}=\sqrt{\dfrac{81\,\text{Вт}}{9\,\text{Ом}}}=3\,\text{А}.\]

То­гда \(R_{\text{общ}}=\dfrac{U}{I}=\dfrac{240\,\text{В}}{3\,\text{А}}=80\,\text{Ом}\), а со­про­тив­ле­ние на­гре­ва­те­ля \(R_{\text{нагр}}=R_{\text{общ}}-9\,\text{Ом}=71\,\text{Ом}\).

\(71\,\text{Ом}\)

Вся на­чаль­ная ки­не­ти­че­ская энер­гия рас­хо­ду­ет­ся на ра­бо­ту тре­ния.

\(\mu mgs=mv^2/2\)

\(s=v^2/(2\mu g)\)

\(s=4^2/(2\cdot 0{,}4\cdot 10)=2\,\text{м}\).

\(2\,\text{м}\)

Сна­ча­ла \(R_4\) и \(R_5\) со­еди­не­ны па­рал­лель­но:

\[R_{45}=\frac{12\cdot12}{12+12}=6\,\text{Ом}.\]

\[R_{345}=R_3+R_{45}=20\,\text{Ом}.\]

Эта ветвь па­рал­лель­на \(R_2=20\,\text{Ом}\), по­это­му со­про­тив­ле­ние участ­ка рав­но \(10\,\text{Ом}\); вме­сте с по­сле­до­ва­тель­ным \(R_1=10\,\text{Ом}\) по­лу­ча­ем \(R_{\text{общ}}=20\,\text{Ом}\). Ток ис­точ­ни­ка \(I=200\,\text{В}/20\,\text{Ом}=10\,\text{А}\), зна­чит на­пря­же­ние на па­рал­лель­ном участ­ке \(U=100\,\text{В}\).

\[I_3=\frac{U}{R_{345}}=5\,\text{А}.\]

\[P_3=I_3^2R_3=(5\,\text{А})^2\cdot14\,\text{Ом}=350\,\text{Вт}.\]

350 Вт

Ра­бо­та силы тре­ния рав­на из­ме­не­нию ки­не­ти­че­ской энер­гии: \(A_{\text{тр}}=E_{k,2}-E_{k,1}\). При оста­нов­ке \(E_{k,2}=0\), по­это­му мо­дуль ра­бо­ты ра­вен на­чаль­ной ки­не­ти­че­ской энер­гии:

\[|A_{\text{тр}}|=\frac{mv_0^2}{2}=\frac{1000\,\text{кг}\cdot(10\,\text{м/с})^2}{2}=50000\,\text{Дж}=50\,\text{кДж}.\]

\(50\,\text{кДж}\)

При па­рал­лель­ном со­еди­не­нии на­пря­же­ние на каж­дой лам­пе рав­но на­пря­же­нию сети: \(U_1=U_2=U_3=U=120\,\text{В}\). По­это­му мощ­ность од­ной лам­пы

\[P=\frac{U^2}{R}=\frac{120^2}{240}=60\,\text{Вт}.\]

\(60\,\text{Вт}\)

В на­ча­ле дви­же­ния ки­не­ти­че­ская энер­гия тела рав­на

\[E_{k,0}=\frac{mv_0^2}{2}=\frac{0{,}2\,\text{кг}\cdot(20\,\text{м/с})^2}{2}=40\,\text{Дж}.\]

Ко­гда \(E_k=20\,\text{Дж}\), умень­ше­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии на \(20\,\text{Дж}\) рав­но при­ро­сту по­тен­ци­аль­ной энер­гии: \(mgh=20\,\text{Дж}\). При \(g=10\,\text{м/с}^2\)

\[h=\frac{20\,\text{Дж}}{0{,}2\,\text{кг}\cdot10\,\text{м/с}^2}=10\,\text{м}.\]

10 м

При рав­но­уско­рен­ном раз­го­не из по­коя сред­няя ско­рость рав­на по­лу­сум­ме на­чаль­ной и ко­неч­ной ско­ро­стей:

\[v_{\text{ср}}=\frac{0+10\,\text{м/с}}{2}=5\,\text{м/с}.\]

За \(t=2\,\text{с}\) спортс­мен про­бе­жал

\[s=v_{\text{ср}}t=5\,\text{м/с}\cdot2\,\text{с}=10\,\text{м}.\]

\(10\,\text{м}\)

На плав­ле­ние льда тре­бу­ет­ся теп­ло­та, ко­то­рую от­даёт охла­жда­ю­ща­я­ся вода. При­рав­ня­ем по­ло­жи­тель­ные ве­ли­чи­ны по­лу­чен­ной и от­дан­ной теп­ло­ты:

\[m_{\text{льда}}\lambda=m_{\text{воды}}c(t_{\text{нач}}-t_{\text{кон}}).\]

От­но­ше­ние мас­сы воды к мас­се льда рав­но

\[\frac{m_{\text{воды}}}{m_{\text{льда}}}=\frac{\lambda}{c(t_{\text{нач}}-t_{\text{кон}})}=\frac{330\cdot10^3}{4200\cdot(33-0)}\approx2{,}38.\]

2,38