№ 21 · Расчётная задача повышенного уровня

Три ре­зи­сто­ра по \(30\,\text{Ом}\) со­еди­не­ны па­рал­лель­но, по­это­му их эк­ви­ва­лент­ное со­про­тив­ле­ние опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой \(R_{123}=R/3\). Для па­рал­лель­ных \(R_4\) и \(R_5\) ана­ло­гич­но \(R_{45}=R/2\).

\[R_{123}=\frac{30}{3}=10\,\text{Ом}.\]

\[R_{45}=\frac{12}{2}=6\,\text{Ом}.\]

Эти участ­ки и \(R_6=4\,\text{Ом}\) со­еди­не­ны по­сле­до­ва­тель­но.

\[R_{\text{общ}}=R_{123}+R_{45}+R_6=10+6+4=20\,\text{Ом}.\]

По за­ко­ну Ома на­хо­дим об­щий ток.

\[I=\frac{U}{R_{\text{общ}}}=\frac{220}{20}=11\,\text{А}.\]

Мощ­ность ре­зи­сто­ра \(R_6\) рав­на \(P_6=I^2R_6\).

\[P_6=11^2\cdot4=484\,\text{Вт}.\]

От­вет: \(484\,\text{Вт}\).

\(484\,\text{Вт}\)

Го­ря­чая вода от­даёт ко­ли­че­ство теп­ло­ты \(Q_{\text{гор}}=cm_1(80-T)\). На на­гре­ва­ние хо­лод­ной воды идёт \(80\%\) этой теп­ло­ты. Хо­лод­ная вода по­лу­ча­ет \(Q_{\text{хол}}=cm_2(T-10)\), по­это­му теп­ло­вой ба­ланс име­ет вид

\[cm_2(T-10)=0{,}8cm_1(80-T).\]

Под­став­ляя \(m_1=3\,\text{кг}\) и \(m_2=1{,}6\,\text{кг}\) и со­кра­щая \(c\), по­лу­ча­ем

\[1{,}6(T-10)=2{,}4(80-T).\]

Рас­кры­вая скоб­ки, \(1{,}6T-16=192-2{,}4T\), от­ку­да \(4T=208\) и \(T=52\,^{\circ}\mathrm{C}\). От­вет: \(52\,^{\circ}\mathrm{C}\).

52 °C

Пусть мас­са воды рав­на \(m\), то­гда мас­са льда рав­на \(2m\). Вода охла­жда­ет­ся от \(40\,^{\circ}\mathrm{C}\) до \(0\,^{\circ}\mathrm{C}\), лёд на­гре­ва­ет­ся от \(-10\,^{\circ}\mathrm{C}\) до \(0\,^{\circ}\mathrm{C}\), а остав­ша­я­ся теп­ло­та пла­вит \(0{,}105\,\text{кг}\) льда. Теп­ло­вой ба­ланс:

\[mc_{\text{в}}\cdot40-2mc_{\text{л}}\cdot10=m_{\text{пл}}\lambda.\]

Под­ста­вим зна­че­ния и от­дель­но вы­чис­лим ко­эф­фи­ци­ент при \(m\):

\[4200\cdot40-2\cdot2100\cdot10=126000.\]

\[126000m=0{,}105\cdot330000=34650.\]

\[m=\frac{34650}{126000}\,\text{кг}=0{,}275\,\text{кг}=275\,\text{г}.\]

От­вет: \(275\,\text{г}\).

275 г

При рав­но­мер­ном подъ­ёме пли­ты ра­бо­та рав­на раз­но­сти её веса и вы­тал­ки­ва­ю­щей силы, умно­жен­ной на вы­со­ту: \[A=(\rho_{\text{мр}}-\rho_{\text{в}})Vgh=(2700-1000)\cdot1\cdot10\cdot5=85\,000\,\text{Дж}=85\,\text{кДж}. \] Ис­поль­зо­ва­но та­блич­ное зна­че­ние плот­но­сти мра­мо­ра \(2700\,\text{кг/м}^3\).

око­ло \(85\,\text{кДж}\)

Пусть на­чаль­ная мас­са воды рав­на \(m\), то­гда на­чаль­ная мас­са льда рав­на \(2m\). Вода от­даёт теп­ло­ту на охла­жде­ние; она идёт на на­гре­ва­ние льда до \(0\,^{\circ}\mathrm{C}\) и плав­ле­ние \(0{,}105\,\text{кг}\) льда. Теп­ло­вой ба­ланс: \(Q_{\text{в}}=Q_{\text{нагрев льда}}+Q_{\text{плавление}}\).

По­сле под­ста­нов­ки и вы­чис­ле­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов по­лу­ча­ем

\[168000m=42000m+34650.\]

\[126000m=34650.\]

\[m=0{,}275\,\text{кг}.\]

То­гда на­чаль­ная мас­са льда \(m_{\text{льда}}=2m=0{,}55\,\text{кг}\).

От­вет: \(0{,}55\,\text{кг}\).

0,55 кг

На пре­дель­ном пути ра­бо­та силы тре­ния рав­на на­чаль­ной ки­не­ти­че­ской энер­гии: \(\mu mgs=\dfrac{mv^2}{2}\). По­сле со­кра­ще­ния мас­сы \[v=\sqrt{2\mu gs}=\sqrt{2\cdot0{,}36\cdot10\,\text{м}/\text{с}^2\cdot1{,}8\,\text{м}}=3{,}6\,\text{м}/\text{с}.\]

\(3{,}6\,\text{м/с}\)

Для пер­во­го ре­зи­сто­ра \(P_1=I^2R_1\), по­это­му: \[I=\sqrt{\frac{P_1}{R_1}}=\sqrt{\frac{400}{25}}=4\,\text{А}. \] Его на­пря­же­ние: \[U_1=IR_1=4\cdot25=100\,\text{В}. \] При по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии: \[U_2=U-U_1=220-100=120\,\text{В},\qquad I_2=I. \] То­гда: \[R_2=\frac{U_2}{I_2}=\frac{120}{4}=30\,\text{Ом}. \]

\(30\,\text{Ом}\)

Раз­ность по­ка­за­ний ди­на­мо­мет­ра рав­на раз­но­сти ар­хи­ме­до­вых сил в воде и ке­ро­си­не: \((\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{к}})gV=3{,}8\,\text{Н}-3{,}4\,\text{Н}\). При \(g=10\,\text{м/с}^2\), \(\rho_{\text{в}}=1000\,\text{кг/м}^3\) и \(\rho_{\text{к}}=800\,\text{кг/м}^3\) по­лу­ча­ем

\[V=\dfrac{0{,}4}{(1000-800)\cdot10}\,\text{м}^3=2\cdot10^{-4}\,\text{м}^3.\]

Вес ци­лин­дра в воз­ду­хе ра­вен по­ка­за­нию в воде плюс сила Ар­хи­ме­да: \(P=3{,}4+1000\cdot10\cdot2\cdot10^{-4}=5{,}4\,\text{Н}\), по­это­му мас­са \(m=P/g=0{,}54\,\text{кг}\). Плот­ность рав­на

\[\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{0{,}54}{2\cdot10^{-4}}\,\text{кг/м}^3=2700\,\text{кг/м}^3.\]

От­вет: \(2700\,\text{кг/м}^3\).

\(2700\,\text{кг/м}^3\)

Го­ря­чая вода от­даёт теп­ло­ту при охла­жде­нии от \(100\,^{\circ}\mathrm{C}\) до \(20\,^{\circ}\mathrm{C}\). Она идёт на на­гре­ва­ние всех \(0{,}2\,\text{кг}\) мо­кро­го сне­га от \(0\,^{\circ}\mathrm{C}\) до \(20\,^{\circ}\mathrm{C}\) и на плав­ле­ние пер­во­на­чаль­но замёрз­шей воды. Теп­ло­вой ба­ланс: \(Q_{\text{отдано}}=Q_{\text{нагрев}}+Q_{\text{плавление}}\). При \(c=4{,}2\,\text{кДж/(кг}\cdot^{\circ}\text{C)}\) и \(\lambda=330\,\text{кДж/кг}\):

\[Q_{\text{от­да­но}}=0{,}2\cdot4{,}2\cdot80=67{,}2\,\text{кДж}.\]

\[Q_{\text{на­грев}}=0{,}2\cdot4{,}2\cdot20=16{,}8\,\text{кДж}.\]

\[Q_{\text{плав­ле­ние}}=67{,}2-16{,}8=50{,}4\,\text{кДж}.\]

\[m_{\text{л}}=\frac{50{,}4}{330}\,\text{кг}\approx0{,}153\,\text{кг}=153\,\text{г}.\]

От­вет: \(153\,\text{г}\).

\(153\,\text{г}\)

Ток в по­сле­до­ва­тель­ной цепи най­дём по мощ­но­сти, вы­де­ля­е­мой на ре­зи­сто­ре \(R=9\,\text{Ом}\):

\[I=\sqrt{\dfrac{P}{R}}=\sqrt{\dfrac{81\,\text{Вт}}{9\,\text{Ом}}}=3\,\text{А}.\]

То­гда \(R_{\text{общ}}=\dfrac{U}{I}=\dfrac{240\,\text{В}}{3\,\text{А}}=80\,\text{Ом}\), а со­про­тив­ле­ние на­гре­ва­те­ля \(R_{\text{нагр}}=R_{\text{общ}}-9\,\text{Ом}=71\,\text{Ом}\).

\(71\,\text{Ом}\)

При пол­ном по­гру­же­нии \(F_{\text{дин}}=P-\rho gV\). Раз­ность по­ка­за­ний в спир­те и воде свя­за­на с раз­но­стью вы­тал­ки­ва­ю­щих сил. При \(\rho_{\text{в}}=1000\,\text{кг}/\text{м}^3\), \(\rho_{\text{сп}}=800\,\text{кг}/\text{м}^3\) и \(g=10\,\text{м}/\text{с}^2\) по­лу­ча­ем

\[V=\dfrac{7{,}4\,\text{Н}-7{,}2\,\text{Н}}{(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{сп}})g}=10^{-4}\,\text{м}^3.\]

Вес ци­лин­дра \(P=7{,}2\,\text{Н}+\rho_{\text{в}}gV=8{,}2\,\text{Н}\). По­это­му

\[\rho=\dfrac{P}{gV}=\dfrac{8{,}2\,\text{Н}}{10\,\text{м}/\text{с}^2\cdot10^{-4}\,\text{м}^3}=8200\,\text{кг}/\text{м}^3.\]

\(8200\,\text{кг}/\text{м}^3\)

При на­гре­ва­нии воды до ки­пе­ния: \[Q_1=mc\Delta t=2{,}5\cdot4200\cdot80=840\,000\,\text{Дж}. \] Ке­ро­син вы­де­ля­ет: \[Q_{\text{т}}=qm_{\text{т}}=46\cdot0{,}040=1{,}84\,\text{МДж}. \] Воду на­гре­ва­ет \(\eta=0{,}50\) вы­де­лив­шей­ся теп­ло­ты: \[\eta Q_{\text{т}}=0{,}50\cdot1{,}84\,\text{МДж}=920\,000\,\text{Дж}. \] На па­ро­об­ра­зо­ва­ние остаёт­ся: \[Q_2=920\,000-840\,000=80\,000\,\text{Дж}. \] Мас­са пара: \[m_{\text{п}}=\frac{Q_2}{L}=\frac{80\,000}{2{,}3\cdot10^6}\approx0{,}035\,\text{кг}=35\,\text{г}. \]

\(35\,\text{г}\)