№ 22 · Комбинированная расчётная задача

Вода мас­сой \(1\,\text{кг}\) и алю­ми­ни­е­вая ка­стрю­ля мас­сой \(0{,}2\,\text{кг}\) на­гре­ва­ют­ся на \(\Delta T=100-20=80\, ^{\circ}\mathrm{C}\). Их сум­мар­ная теп­ло­та рав­на \(Q=(m_{\text{в}}c_{\text{в}}+m_{\text{Al}}c_{\text{Al}})\Delta T\).

\[Q=(1\cdot4200+0{,}2\cdot920)\cdot80\,\text{Дж}=350\,720\,\text{Дж}.\]

\(350\,720\,\text{Дж}\)

Теп­лоём­кость си­сте­мы рав­на \(C=m_{\text{в}}c_{\text{в}}+m_{\text{Al}}c_{\text{Al}}\), теп­ло­та \(Q=C\Delta T\), а мощ­ность спи­ра­ли \(P=U^2/R\).

\[t=\dfrac{(0{,}12\cdot4200+0{,}05\cdot920)\cdot9}{15^2/2}=44\,\text{с}.\]

\(44\,\text{с}\)

Пла­сти­на по­лу­чи­ла теп­ло­ту \(Q_{\text{пл}}=m_{\text{пл}}c_{\text{Pb}}\Delta T\), что со­став­ля­ет 80% об­щей теп­ло­ты уда­ра. Энер­гия па­де­ния шара пе­ре­хо­дит в эту теп­ло­ту, \(m_1gh=Q_{\text{общ}}\). По­это­му

\[h=\dfrac{m_{\text{пл}}c_{\text{Pb}}\Delta T}{0{,}8m_1g}=\dfrac{1\cdot130\cdot3{,}2}{0{,}8\cdot2\cdot10}=26\,\text{м}.\]

\(26\,\text{м}\)

Вся ки­не­ти­че­ская энер­гия гири пе­ре­хо­дит в её вну­трен­нюю энер­гию: \(\frac{mv^2}{2}=mc\Delta T\), где \(\Delta T=100-30=70\,^{\circ}\mathrm{C}\). Мас­са со­кра­ща­ет­ся, по­это­му

\[v=\sqrt{2c\Delta T}=\sqrt{2\cdot140\cdot70}=140\,\text{м/с}.\]

\(140\,\text{м/с}\)

КПД на­гре­ва­те­ля ра­вен от­но­ше­нию ко­ли­че­ства теп­ло­ты, по­лу­чен­но­го во­дой, к элек­три­че­ской энер­гии: \(\eta=\frac{Q}{UI\tau}\). Для на­гре­ва воды \(Q=cm\Delta T\), где \(\Delta T=100-10=90\,^{\circ}\mathrm{C}\). От­сю­да

\[U=\frac{cm\Delta T}{\eta I\tau}=\frac{4200\cdot2{,}2\cdot90}{0{,}45\cdot7\cdot20\cdot60}=220\,\text{В}.\]

\(220\,\text{В}\)

По­лез­ная энер­гия па­да­ю­щей воды рав­на \(E=\eta mgh\). При \(m=8\,\text{т}=8000\,\text{кг}\): \[E=0{,}9\cdot8000\cdot10\cdot20=1{,}44\cdot10^6\,\text{Дж}. \] Вре­мя ра­бо­ты лам­пы \(t=E/P\): \[t=\frac{1{,}44\cdot10^6}{40}=36000\,\text{с}=10\,\text{ч}. \]

\(10\,\text{ч}\)

Пусть со­про­тив­ле­ние каж­до­го на­гре­ва­те­ля рав­но \(R\), а но­ми­наль­ное на­пря­же­ние — \(U\). Из \(P=\frac{U^2}{R}\) сле­ду­ет, что при по­сле­до­ва­тель­ном со­еди­не­нии двух оди­на­ко­вых на­гре­ва­те­лей их сум­мар­ная мощ­ность рав­на \(P_{\text{общ}}=\frac{U^2}{2R}=\frac{P}{2}=300\,\text{Вт}\).

За вре­мя \(\tau=14\cdot60\,\text{с}\) вода по­лу­ча­ет ко­ли­че­ство теп­ло­ты \(Q=P_{\text{общ}}\tau=cm\Delta T\). По­это­му

\[m=\frac{P_{\text{общ}}\tau}{c\Delta T}=\frac{300\cdot14\cdot60}{4200\cdot30}=2\,\text{кг}.\]

\(2\,\text{кг}\)

Мас­са \(1\,\text{л}\) воды рав­на \(1\,\text{кг}\). Два па­рал­лель­но вклю­чён­ных на­гре­ва­те­ля вме­сте име­ют мощ­ность \[P=2\cdot800=1600\,\text{Вт}. \] Из ра­вен­ства вы­де­лив­шей­ся энер­гии и ко­ли­че­ства теп­ло­ты: \[Pt=cm\Delta T. \] Сле­до­ва­тель­но, \[t=\frac{cm\Delta T}{P}=\frac{4200\cdot1\cdot80}{1600}=210\,\text{с}=3{,}5\,\text{мин}. \]

\(3{,}5\,\text{мин}\)

На еди­ни­цу мас­сы по­те­ря ме­ха­ни­че­ской энер­гии пе­ре­хо­дит в теп­ло­ту: \(q=gh-\frac{v^2}{2}\). При \(g=10\,\text{м/с}^2\), \(h=103\,\text{м}\) и \(v=40\,\text{м/с}\) по­лу­ча­ем

\[q=10\cdot103-\frac{40^2}{2}=230\,\text{Дж/кг}.\]

Для ста­ли \(c=500\,\text{Дж/(кг}\cdot{}^{\circ}\text{C)}\), по­это­му

\[\Delta T=\frac{q}{c}=\frac{230}{500}=0{,}46\,^{\circ}\text{C}.\]

\(0{,}46\,^{\circ}\mathrm{C}\)

На на­гре­ва­ние воды идёт доля \(\eta=0{,}84\) её по­тен­ци­аль­ной энер­гии. Из ра­вен­ства \(\eta mgh=mc\Delta T\) со­кра­ща­ем мас­су воды и на­хо­дим: \[t_2=t_1+\frac{\eta gh}{c}=20+\frac{0{,}84\cdot10\cdot100}{4200}=20{,}2\,^{\circ}\text{C}. \]

\(20{,}2\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Вся ки­не­ти­че­ская энер­гия гири пе­ред уда­ром пе­ре­хо­дит в её вну­трен­нюю энер­гию:

\[\frac{mv^2}{2}=mc\Delta T.\]

Со­кра­щая мас­су гири, на­хо­дим по­вы­ше­ние тем­пе­ра­ту­ры:

\[\Delta T=\frac{v^2}{2c}=\frac{14^2}{2\cdot140}=0{,}7\,^{\circ}\mathrm{C}.\]

То­гда ко­неч­ная тем­пе­ра­ту­ра рав­на \(20+0{,}7=20{,}7\,^{\circ}\mathrm{C}\).

\(20{,}7\,^{\circ}\mathrm{C}\)

Теп­лоём­кость воды рав­на \(C_{\text{в}}=mc=0{,}12\cdot4200=504\,\text{Дж/}^{\circ}\mathrm{C}\), а ка­ло­ри­мет­ра — \(C_{\text{к}}=0{,}05\cdot920=46\,\text{Дж/}^{\circ}\mathrm{C}\). Их сум­мар­ная теп­лоём­кость \(C=550\,\text{Дж/}^{\circ}\mathrm{C}\).

Для на­гре­ва на \(\Delta T=12\,^{\circ}\mathrm{C}\) тре­бу­ет­ся

\[Q=C\Delta T=550\cdot12=6600\,\text{Дж}.\]

Мощ­ность спи­ра­ли \(P=\frac{U^2}{R}=\frac{5^2}{2}=12{,}5\,\text{Вт}\). С учётом по­терь 20% на на­грев идёт \(P_{\text{пол}}=0{,}8P=10\,\text{Вт}\). По­это­му

\[t=\frac{Q}{P_{\text{пол}}}=\frac{6600}{10}=660\,\text{с}=11\,\text{мин}.\]

\(660\,\text{с}=11\,\text{мин}\)